Robótica

Sistemas de Coordenadas Variantes no Tempo

Rotações variantes no tempo

Para caracterizar uma rotação no espaço, utilizamos um vetor

. A direção do vetor é o eixo de rotação, e sua magnitude, a taxa de variação da rotação em torno do eixo.

A derivada de uma matriz de rotação variante no tempo é

Onde

é uma matriz anti-simétrica, que, para o caso em 3 dimensões, é:

S = skew([1,2,3])
S = 
     0    -3     2
     3     0    -1
    -2     1     0
vex(S)
ans = 
     1
     2
     3

Movimento Incremental

Dadas duas poses

, nós podemos representar a diferença entre elas por um vetor de 6 elementos, 3 referentes à translação e 3 referentes à rotação:

T0 = transl(1,2,3)*trotx(1)*troty(1)*trotz(1);
T1 = T0*transl(0.01,0.02,0.03)*trotx(0.001)*troty(0.002)*trotz(0.003)
T1 = 
    0.2889   -0.4547    0.8425    1.0191
    0.8372   -0.3069   -0.4527    1.9887
    0.4644    0.8361    0.2920    3.0301
         0         0         0    1.0000
d = tr2delta(T0, T1);
d'
ans = 
    0.0100    0.0200    0.0300    0.0010    0.0020    0.0030
delta2tr(d) * T0
ans = 
    0.2903   -0.4521    0.8434    1.0100
    0.8376   -0.3061   -0.4524    2.0200
    0.4627    0.8378    0.2898    3.0300
         0         0         0    1.0000

Sistemas de Navegação Inercial

É comum "deesnormalizar" as matrizes após sucessivas integrações em sistemas de navegação inercial, por exemplo. Para realizar a normalização de matrizes:

T0= trnorm(T0);

O equivalente para quatérnios da equação da derivada da rotação é a seguinte:

Ao ter as 3 componentes da velocidade angular, e isso obtemos ao utilizar IMUs, podemos obter o quatérnio referente ao deslocamento:

qd = UnitQuaternion.omega([1,2,3]);

Com isso, integramos à uma frequência bem alta para obter o deslocamento do frame. Tal integração desnormaliza o quatérnio, e, para normalizar o quatérnio, fazemos:

q = qd.unit();